Число 42 вошло в массовую культуру благодаря роману Дугласа Адамса "Автостопом по Галактике". Но математикам оно известно как последнее число в промежутке от 1 до 100, которое не удавалось разложить в сумму трёх кубов целых чисел (или доказать, что разложения нет). Теперь этот бастион пал благодаря двум математикам и полумиллиону домашних компьютеров.
Теория чисел славится тем, что многие поставленные ею вопросы понятны даже школьникам, а вот ответы на них зачастую не могут найти сильнейшие математики эпохи. Самым известным примером является, конечно, теорема Ферма, доказанная в 1994 году после нескольких столетий исследований. Но в теории чисел много не менее крепких орешков.
В 1954 году была поставлена такая задача. Пусть k – натуральное (то есть целое положительное) число. Найдутся ли целые числа x, y, z такие, что x3 + y3 + z3 = k?
Если k при делении на 9 даёт остаток 4 или 5, ответ очевиден любому математику: нет. А как насчёт гипотезы, что для всех остальных k такие x, y, z существуют? Это утверждение ещё никому не удалось ни доказать, ни опровергнуть (и наверняка такой результат стал бы сенсацией).
Даже найти подобное разложение для какого-нибудь конкретного числа иногда очень и очень трудно. Возьмём, например, k = 74. Существует ли решение уравнения x3 + y3 + z3 = 74?
Легко проверить, что в этом уравнении x, y и z не могут быть положительными все одновременно. В конце концов, 74 < 53. Достаточно подставить на место x, y и z все возможные комбинации чисел 1, 2, 3 и 4, чтобы удостовериться, что ни одна из них не даёт в качестве суммы кубов 74.
Но ведь условие задачи не запрещает одной или двум переменным из набора x, y, z принимать отрицательные значения. Мы можем взять, например, сколь угодно внушительный отрицательный x и попытаться подобрать положительные y и z так, чтобы вожделенное равенство стало справедливым. А если не получится, уменьшить x ещё на единицу и начать с начала. Так можно искать решение очень долго (а если его не существует, то и бесконечно долго).
Разумеется, учёные не используют такой примитивный подход, как перебор всех возможных вариантов "по порядку". Исходя из тонких математических соображений, они разрабатывают сложные алгоритмы, которые значительно повышают шансы найти решение по сравнению с простым перебором. И тем не менее никто не может сказать заранее, существует ли решение вообще, и если да, то сколько потребуется часов вычислений на лучших суперкомпьютерах, чтобы его отыскать.
К слову, разложение для 74 было найдено только в 2016 году. Вот оно:
74=(-284650292555885)3 + 662298321905563+ 2834501056977273. Впечатляет?
А в 2019 году Эндрю Букер (Andrew Booker) из Бристольского университета опубликовал первые решения для k = 33 и k = 795. Это потребовало от него разработки нового алгоритма поиска и недели вычислений на суперкомпьютере.
После работы Букера в первой сотне осталось только одно число, для которого вопрос о разложении в сумму трёх кубов оставался открытым. И персонажи Дугласа Адамса легко угадали бы, что это за число.
И вот недавно математический мир облетела новость: разложение для числа 42 найдено! Оно опубликовано в пресс-релизе Бристольского университета и выглядит так: 42 = (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313. (Редакция не несёт ответственности за последствия попыток прочитать это математическое выражение вслух).
Результат принадлежит уже упоминавшемуся Букеру и его коллеге из Массачусетского технологического института Эндрю Сазерленду (Andrew Sutherland).
Решение было найдено с помощью сети Charity Engine, объединяющей более полумиллиона домашних компьютеров. В часы простоя эти машины с согласия своих владельцев выполняют вычисления для математиков, и по суммарной мощности такая система может обойти практически любой суперкомпьютер. Но и такому "коллективному разуму" понадобилось более миллиона часов процессорного времени, чтобы найти ответ.
"Я чувствую облегчение, – признаётся Букер. – В этой игре невозможно быть уверенным, что вы что-то найдёте. <…> Мы можем найти то, что ищем, через несколько месяцев поиска, а может случиться так, что решение не будет найдено в течение ещё одного столетия".
Теперь в первой тысяче осталось только десять чисел, для которых не найдено разложение в сумму трёх кубов и не доказано, что его не существует. Это 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906 и 921.
Может сложиться впечатление, что учёные занимаются бессмысленными и оторванными от жизни забавами. Но это совсем не так. Разумеется, большинством математиков двигает не забота о благе человечества, а жгучее научное любопытство. Однако это не мешает им в той же теории чисел получать результаты, которые активно применяются в шифровании данных и вообще в компьютерных технологиях.
К слову, ранее "Вести.Наука" (nauka.vesti.ru) рассказывали о рекордно большом простом числе и доказанной в России теореме, не поддававшейся математикам более 40 лет.
